Dalam dunia matematika, pertidaksamaan linear satu variabel adalah salah satu konsep fundamental yang seringkali menjadi batu loncatan untuk memahami materi yang lebih kompleks. Di tingkat Sekolah Menengah Atas (SMA) kelas 11, pemahaman yang kuat tentang pertidaksamaan ini menjadi krusial, karena seringkali muncul dalam berbagai aplikasi dan soal-soal olimpiade. Artikel ini akan mengupas tuntas mengenai pertidaksamaan linear satu variabel, mulai dari definisi, sifat-sifatnya, hingga berbagai contoh soal beserta penyelesaiannya yang dirancang khusus untuk siswa kelas 11.
Apa Itu Pertidaksamaan Linear Satu Variabel?
Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita pahami definisinya. Pertidaksamaan linear satu variabel adalah sebuah pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi linear yang mengandung satu variabel. Tanda pembanding yang digunakan adalah salah satu dari:
<(kurang dari)>(lebih dari)≤(kurang dari atau sama dengan)≥(lebih dari atau sama dengan)
Variabel yang dimaksud di sini adalah simbol (biasanya huruf seperti x, y, a, b, dll.) yang nilainya belum diketahui dan dapat berubah. Sementara itu, "linear" berarti bahwa pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 1.
Bentuk Umum Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu variabel dapat ditulis sebagai:
- $ax + b < c$
- $ax + b > c$
- $ax + b le c$
- $ax + b ge c$
Di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta (bilangan real), dan $a ne 0$.
Sifat-Sifat Penting dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel, kita perlu mengingat beberapa sifat penting yang mirip dengan persamaan linear, namun dengan satu perbedaan krusial terkait perkalian atau pembagian dengan bilangan negatif.
-
Penjumlahan dan Pengurangan: Menambahkan atau mengurangkan kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda pertidaksamaan.
- Jika $A < B$, maka $A + C < B + C$ dan $A – C < B – C$.
-
Perkalian dan Pembagian dengan Bilangan Positif: Mengalikan atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda pertidaksamaan.
- Jika $A < B$ dan $C > 0$, maka $A cdot C < B cdot C$ dan $A / C < B / C$.
-
Perkalian dan Pembagian dengan Bilangan Negatif (Perbedaan Krusial!): Mengalikan atau membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan negatif yang sama akan membalik arah tanda pertidaksamaan.
- Jika $A < B$ dan $C < 0$, maka $A cdot C > B cdot C$ dan $A / C > B / C$.
Langkah-Langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Proses penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel umumnya mengikuti langkah-langkah berikut:
- Sederhanakan Setiap Ruas: Buka kurung jika ada dan gabungkan suku-suku sejenis pada masing-masing ruas.
- Pindahkan Variabel ke Satu Ruas: Gunakan sifat penjumlahan dan pengurangan untuk mengumpulkan semua suku yang mengandung variabel di satu ruas (biasanya ruas kiri) dan konstanta di ruas lainnya (biasanya ruas kanan).
- Pindahkan Konstanta ke Ruas Lain: Lakukan hal yang sama untuk konstanta.
- Isolasi Variabel: Jika variabel masih memiliki koefisien selain 1, bagi kedua ruas dengan koefisien tersebut. Ingat untuk membalik tanda pertidaksamaan jika koefisiennya negatif.
- Tulis Himpunan Penyelesaian: Nyatakan solusi dalam bentuk himpunan atau interval.
Representasi Himpunan Penyelesaian
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam beberapa cara:
- Bentuk Himpunan: Menggunakan notasi kurung kurawal, misalnya $x $.
- Garis Bilangan: Menggunakan titik-titik pada garis bilangan untuk menunjukkan rentang nilai yang memenuhi. Titik terbuka digunakan untuk
<dan>, sedangkan titik tertutup digunakan untuk≤dan≥. - Bentuk Interval: Menggunakan notasi interval, misalnya $(-infty, 5)$ untuk $x < 5$ atau $(-infty, 5]$ untuk $x le 5$.
Contoh Soal dan Pembahasan (Kelas 11)
Mari kita selami berbagai contoh soal yang relevan untuk siswa kelas 11, mencakup berbagai tingkat kesulitan.
Contoh Soal 1: Pertidaksamaan Dasar
Tentukan himpununan penyelesaian dari pertidaksamaan $3x – 5 le 7$.
Pembahasan:
Langkah 1: Tidak ada penyederhanaan yang diperlukan.
Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
$3x – 5 le 7$
Tambahkan 5 ke kedua ruas:
$3x – 5 + 5 le 7 + 5$
$3x le 12$
Langkah 3: Isolasi variabel. Bagi kedua ruas dengan 3 (bilangan positif, jadi tanda pertidaksamaan tetap).
$3x / 3 le 12 / 3$
$x le 4$
Himpunan penyelesaian dalam bentuk himpunan adalah $ x le 4$.
Pada garis bilangan, ini adalah titik tertutup pada 4 dengan arah ke kiri.
Dalam bentuk interval, ini adalah $(-infty, 4]$.
Contoh Soal 2: Pertidaksamaan dengan Variabel di Kedua Ruas
Selesaikan pertidaksamaan $5(y + 2) > 2(y – 1)$.
Pembahasan:
Langkah 1: Sederhanakan kedua ruas.
$5y + 10 > 2y – 2$
Langkah 2: Pindahkan suku yang mengandung variabel ke ruas kiri.
$5y – 2y + 10 > -2$
$3y + 10 > -2$
Langkah 3: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
$3y > -2 – 10$
$3y > -12$
Langkah 4: Isolasi variabel. Bagi kedua ruas dengan 3.
$3y / 3 > -12 / 3$
$y > -4$
Himpunan penyelesaian dalam bentuk himpunan adalah $ y > -4$.
Pada garis bilangan, ini adalah titik terbuka pada -4 dengan arah ke kanan.
Dalam bentuk interval, ini adalah $(-4, infty)$.
Contoh Soal 3: Pertidaksamaan yang Melibatkan Pembagian dengan Bilangan Negatif
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $10 – 2a ge 4$.
Pembahasan:
Langkah 1: Tidak ada penyederhanaan yang diperlukan.
Langkah 2: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
$10 – 2a ge 4$
Kurangi 10 dari kedua ruas:
$10 – 10 – 2a ge 4 – 10$
$-2a ge -6$
Langkah 3: Isolasi variabel. Bagi kedua ruas dengan -2. Ingat, kita membagi dengan bilangan negatif, jadi tanda pertidaksamaan harus dibalik!
$-2a / -2 le -6 / -2$
$a le 3$
Himpunan penyelesaian dalam bentuk himpunan adalah $ a le 3$.
Pada garis bilangan, ini adalah titik tertutup pada 3 dengan arah ke kiri.
Dalam bentuk interval, ini adalah $(-infty, 3]$.
Contoh Soal 4: Pertidaksamaan dengan Pecahan
Selesaikan pertidaksamaan $frac13x + frac12 < frac23$.
Pembahasan:
Untuk memudahkan, kita bisa menghilangkan penyebut dengan mengalikan kedua ruas dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya. KPK dari 3 dan 2 adalah 6.
Kalikan kedua ruas dengan 6:
$6 cdot (frac13x + frac12) < 6 cdot frac23$
$6 cdot frac13x + 6 cdot frac12 < 6 cdot frac23$
$2x + 3 < 4$
Sekarang, selesaikan pertidaksamaan linear biasa:
$2x < 4 – 3$
$2x < 1$
$x < frac12$
Himpunan penyelesaian dalam bentuk himpunan adalah $x $.
Dalam bentuk interval, ini adalah $(-infty, frac12)$.
Contoh Soal 5: Pertidaksamaan dalam Konteks Soal Cerita
Seorang pedagang memiliki modal Rp 500.000 untuk membeli baju. Harga satu baju adalah Rp 75.000. Jika pedagang tersebut ingin mendapatkan keuntungan minimal Rp 200.000, berapa jumlah baju maksimal yang dapat dibeli dan dijual oleh pedagang tersebut?
Pembahasan:
Misalkan jumlah baju yang dibeli dan dijual adalah $n$.
- Modal untuk membeli $n$ baju adalah $75.000n$.
- Pendapatan dari menjual $n$ baju (dengan asumsi harga jual sama dengan harga beli untuk menyederhanakan, namun kita fokus pada keuntungan).
- Keuntungan yang diinginkan adalah minimal Rp 200.000.
Kita perlu memikirkan hubungan antara modal, harga beli, harga jual, dan keuntungan. Namun, soal ini bisa diinterpretasikan sebagai pedagang tersebut ingin membeli sejumlah baju dengan modal tertentu, dan harga per baju adalah Rp 75.000. Ia ingin menjualnya dan mendapatkan keuntungan.
Mari kita fokus pada batasan modal. Modal yang dimiliki adalah Rp 500.000.
Harga per baju adalah Rp 75.000.
Jumlah baju yang dapat dibeli, $n$, harus memenuhi:
$75.000n le 500.000$
Untuk mencari jumlah baju maksimal yang dapat dibeli:
$n le frac500.00075.000$
$n le frac507.5$
$n le frac10015$
$n le frac203$
$n le 6.66…$
Karena jumlah baju harus bilangan bulat, maka jumlah baju maksimal yang dapat dibeli adalah 6.
Sekarang, mari kita pertimbangkan keuntungan. Jika pedagang membeli 6 baju, modalnya adalah $6 times 75.000 = 450.000$. Ia masih punya sisa modal Rp 50.000.
Namun, jika kita membaca soal dengan hati-hati, "berapa jumlah baju maksimal yang dapat dibeli dan dijual", ini mengacu pada batasan modal untuk membeli. Keuntungan Rp 200.000 adalah target yang ingin dicapai setelah membeli dan menjual.
Asumsikan harga jual per baju adalah $h$.
Keuntungan total = (Jumlah baju $times$ Harga jual per baju) – (Jumlah baju $times$ Harga beli per baju)
Keuntungan total = $n cdot h – n cdot 75.000$
Pedagang ingin keuntungan minimal Rp 200.000.
$n cdot h – n cdot 75.000 ge 200.000$
Dan juga, modal yang digunakan untuk membeli baju tidak boleh melebihi Rp 500.000.
$n cdot 75.000 le 500.000$
Dari sini kita sudah dapat $n le 6$.
Jika $n=6$, maka modal yang digunakan adalah Rp 450.000.
Sisa modal = Rp 50.000.
Soal ini sedikit ambigu mengenai bagaimana keuntungan dihitung. Namun, jika kita fokus pada "jumlah baju maksimal yang dapat dibeli" dengan modal yang ada, maka jawabannya adalah 6. Jika pedagang ingin menjual ke-6 baju tersebut dan mendapatkan keuntungan Rp 200.000, maka total pendapatan yang harus diterima adalah Rp 450.000 (modal) + Rp 200.000 (keuntungan) = Rp 650.000. Maka harga jual per baju haruslah $frac650.0006 approx 108.333$.
Jika soal ini dimaksudkan untuk mencari $n$ sedemikian rupa sehingga ada harga jual yang memungkinkan keuntungan tersebut, maka jawaban untuk $n$ adalah 6.
Contoh Soal 6: Pertidaksamaan dengan Variabel di Kedua Ruas dan Pecahan
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $fracx2 – frac13 < fracx4 + frac16$.
Pembahasan:
Langkah 1: Cari KPK dari penyebut (2, 3, 4, 6). KPK-nya adalah 12.
Kalikan kedua ruas dengan 12:
$12 cdot (fracx2 – frac13) < 12 cdot (fracx4 + frac16)$
$12 cdot fracx2 – 12 cdot frac13 < 12 cdot fracx4 + 12 cdot frac16$
$6x – 4 < 3x + 2$
Langkah 2: Pindahkan variabel ke satu ruas.
$6x – 3x – 4 < 2$
$3x – 4 < 2$
Langkah 3: Pindahkan konstanta ke ruas lain.
$3x < 2 + 4$
$3x < 6$
Langkah 4: Isolasi variabel.
$x < frac63$
$x < 2$
Himpunan penyelesaian dalam bentuk himpunan adalah $ x < 2$.
Dalam bentuk interval, ini adalah $(-infty, 2)$.
Mengapa Pertidaksamaan Linear Penting?
Pertidaksamaan linear satu variabel bukanlah sekadar latihan matematis. Konsep ini memiliki banyak aplikasi di dunia nyata, seperti:
- Perencanaan Anggaran: Menentukan berapa banyak barang yang bisa dibeli dengan dana terbatas.
- Optimasi: Mencari nilai maksimum atau minimum dalam suatu kendala.
- Ilmu Komputer: Algoritma seringkali melibatkan pembandingan dan batasan.
- Fisika dan Teknik: Memodelkan fenomena yang memiliki batasan atau toleransi.
Tips Tambahan untuk Siswa Kelas 11:
- Teliti Tanda Pertidaksamaan: Perhatikan baik-baik apakah tanda pertidaksamaan adalah
<,>,≤, atau≥. Ini sangat krusial saat membalik tanda. - Latihan Rutin: Semakin sering berlatih, semakin lancar Anda dalam menyelesaikan berbagai jenis soal.
- Gunakan Garis Bilangan: Visualisasi pada garis bilangan sangat membantu untuk memahami himpunan penyelesaian, terutama ketika ada beberapa pertidaksamaan yang digabungkan.
- Pahami Konteks Soal Cerita: Bacalah soal cerita dengan cermat untuk mengidentifikasi variabel, batasan, dan apa yang ditanyakan.
Kesimpulan
Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan konsep dasar namun sangat penting dalam matematika. Dengan memahami definisi, sifat-sifatnya, dan mengikuti langkah-langkah penyelesaian yang sistematis, Anda akan mampu menguasai materi ini dengan baik. Berbagai contoh soal yang telah dibahas memberikan gambaran tentang variasi soal yang mungkin dihadapi. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk bertanya jika ada kesulitan. Penguasaan pertidaksamaan linear ini akan membuka pintu pemahaman Anda terhadap konsep matematika yang lebih lanjut.
