Geometri, sebuah cabang matematika yang mempelajari tentang bentuk, ukuran, posisi relatif, dan sifat ruang, seringkali menjadi materi yang menantang namun memikat bagi siswa. Di kelas 10 semester 2, fokus pembelajaran geometri seringkali beralih dari dua dimensi ke tiga dimensi, yaitu geometri ruang. Memahami konsep-konsep seperti titik, garis, dan bidang dalam ruang, serta hubungan antar keduanya, adalah kunci untuk menguasai materi ini.
Artikel ini hadir untuk membantu Anda, para siswa kelas 10, dalam memahami dan menguasai geometri ruang melalui berbagai contoh soal yang relevan dengan materi semester 2. Kita akan menjelajahi berbagai jenis soal, mulai dari yang paling dasar hingga yang sedikit lebih kompleks, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah diikuti. Dengan latihan yang tepat, Anda akan menemukan bahwa geometri ruang bukanlah momok yang menakutkan, melainkan sebuah arena eksplorasi yang menarik.
Pengantar Singkat Konsep Geometri Ruang
Sebelum kita melangkah ke contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang beberapa konsep dasar dalam geometri ruang:
- Titik: Elemen paling dasar dalam geometri. Titik tidak memiliki ukuran, hanya posisi. Dalam ruang tiga dimensi, titik direpresentasikan dengan koordinat (x, y, z).
- Garis: Kumpulan titik yang memanjang tanpa batas ke kedua arah. Dalam ruang, garis bisa sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
- Bidang: Permukaan datar yang memanjang tanpa batas ke segala arah. Sama seperti garis, bidang bisa sejajar, berpotongan, atau bahkan berimpit.
- Kubus dan Balok: Bangun ruang yang paling umum dipelajari. Keduanya memiliki sisi-sisi berbentuk persegi atau persegi panjang, dan titik-titik sudut yang membentuk sudut siku-siku.
- Jarak: Konsep krusial dalam geometri ruang, meliputi jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak dua garis sejajar, jarak garis ke bidang sejajar, dan jarak dua bidang sejajar.
- Sudut: Dibentuk oleh dua garis yang berpotongan atau dua bidang yang berpotongan. Kita akan mempelajari sudut antara garis dan garis, garis dan bidang, serta bidang dan bidang.
Contoh Soal dan Pembahasan
Mari kita mulai dengan contoh soal yang mencakup berbagai aspek geometri ruang yang umum diajarkan di kelas 10 semester 2.
Soal 1: Menghitung Jarak Antar Titik dalam Kubus
Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Hitunglah jarak antara titik A dan titik G!
Pembahasan:
Untuk menghitung jarak antara dua titik dalam ruang, kita dapat memanfaatkan teorema Pythagoras. Perhatikan bahwa segitiga ACG adalah segitiga siku-siku di C.
-
Cari panjang diagonal sisi AC:
Dalam segitiga siku-siku ABC, AC adalah sisi miring.
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 8^2$
$AC^2 = 64 + 64$
$AC^2 = 128$
$AC = sqrt128 = sqrt64 times 2 = 8sqrt2$ cm. -
Cari panjang diagonal ruang AG:
Dalam segitiga siku-siku ACG, AG adalah sisi miring.
$AG^2 = AC^2 + CG^2$
$AG^2 = (8sqrt2)^2 + 8^2$
$AG^2 = 128 + 64$
$AG^2 = 192$
$AG = sqrt192 = sqrt64 times 3 = 8sqrt3$ cm.
Jadi, jarak antara titik A dan titik G adalah $8sqrt3$ cm.
Soal 2: Menghitung Jarak Titik ke Garis pada Balok
Diketahui balok PQRSTUVS dengan panjang PQ = 10 cm, QR = 6 cm, dan RV = 4 cm. Tentukan jarak titik P ke garis RT!
Pembahasan:
Untuk menghitung jarak titik P ke garis RT, kita perlu mencari panjang garis tegak lurus dari P ke garis RT. Kita bisa menggunakan konsep luas segitiga atau proyeksi. Mari kita gunakan konsep luas segitiga.
-
Perhatikan segitiga PRT. Kita perlu mencari panjang PR dan PT, serta RT.
-
PR: Diagonal sisi PQRT.
$PR^2 = PQ^2 + QR^2$
$PR^2 = 10^2 + 6^2$
$PR^2 = 100 + 36$
$PR^2 = 136$
$PR = sqrt136$ cm. -
PT: Diagonal sisi PQVS.
$PT^2 = PQ^2 + PV^2$
$PT^2 = 10^2 + 4^2$
$PT^2 = 100 + 16$
$PT^2 = 116$
$PT = sqrt116$ cm. -
RT: Diagonal sisi QRST.
$RT^2 = QR^2 + QT^2$
$RT^2 = 6^2 + 10^2$ (karena QT = PQ = 10)
$RT^2 = 36 + 100$
$RT^2 = 136$
$RT = sqrt136$ cm.
Segitiga PRT adalah segitiga sama kaki dengan PR = RT.
-
-
Misalkan titik S’ adalah proyeksi titik P pada garis RT, sehingga PS’ tegak lurus RT. Jarak yang dicari adalah panjang PS’.
Kita bisa menghitung luas segitiga PRT dengan dua cara:- Menggunakan alas PR dan tinggi QR (jika kita menganggap bidang PQRT datar) atau alas PQ dan tinggi QR. Namun, ini tidak langsung memberikan luas segitiga PRT.
Mari kita gunakan koordinat untuk mempermudah.
Misalkan P = (0, 0, 0)
Q = (10, 0, 0)
R = (10, 6, 0)
T = (0, 6, 0)
U = (0, 0, 4)
V = (10, 0, 4)
S = (10, 6, 4)
W = (0, 6, 4) (Nama titik tidak sesuai dengan soal, tapi kita pakai saja sebagai ilustrasi)Kita cari jarak P(0,0,0) ke garis RT.
Vektor $vecRT = T – R = (0-10, 6-6, 0-0) = (-10, 0, 0)$.
Vektor $vecRP = P – R = (0-10, 0-6, 0-0) = (-10, -6, 0)$.Jarak titik P ke garis RT dapat dihitung menggunakan rumus:
$d = frac$$vecRP times vecRT = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -10 & -6 & 0 -10 & 0 & 0 endvmatrix$
$= mathbfi((-6)(0) – (0)(0)) – mathbfj((-10)(0) – (0)(-10)) + mathbfk((-10)(0) – (-6)(-10))$
$= mathbfi(0) – mathbfj(0) + mathbfk(0 – 60)$
$= (0, 0, -60)$$|vecRP times vecRT| = sqrt0^2 + 0^2 + (-60)^2 = sqrt3600 = 60$.
$|vecRT| = sqrt(-10)^2 + 0^2 + 0^2 = sqrt100 = 10$.
$d = frac6010 = 6$.
Alternatif (tanpa koordinat, jika memungkinkan visualisasi):
Pada segitiga PRT, PR = $sqrt136$, RT = $sqrt136$, PT = $sqrt116$.
Misalkan PS’ adalah jarak titik P ke garis RT. Karena segitiga PRT sama kaki (PR=RT), maka titik S’ akan berada di tengah-tengah RT jika P tegak lurus dengan RT. Namun, P tidak tegak lurus dengan RT.Kita dapat menggunakan rumus luas segitiga: Luas = $frac12 times alas times tinggi$.
Misalkan kita gunakan alas RT. Kita perlu mencari tinggi dari P ke RT.
Perhatikan bidang PQRT. PQ = 10, QR = 6, PR = $sqrt136$.
Luas segitiga PRT = Luas segitiga PQRT / 2 (jika bidangnya datar).
Luas PQRT = 10 * 6 = 60.
Luas segitiga PRT = 30.Menggunakan luas segitiga PRT = $frac12 times RT times PS’$, di mana PS’ adalah jarak P ke RT.
$30 = frac12 times sqrt136 times PS’$
$60 = sqrt136 times PS’$
$PS’ = frac60sqrt136 = frac602sqrt34 = frac30sqrt34 = frac30sqrt3434 = frac15sqrt3417$.Terdapat perbedaan hasil antara metode koordinat dan metode luas segitiga. Mari kita periksa kembali pemahaman dan perhitungan.
Kembali ke koordinat: P=(0,0,0), R=(10,6,0), T=(0,6,0).
Vektor $vecRT = T – R = (-10, 0, 0)$.
Vektor $vecRP = P – R = (-10, -6, 0)$.
Perhitungan cross product dan jarak sudah benar. Hasil 6 cm.Mari kita periksa kembali perhitungan luas segitiga:
PR = $sqrt136$, RT = $sqrt136$, PT = $sqrt116$.
Segitiga PRT memiliki alas RT = $sqrt136$.
Misalkan S’ adalah titik pada RT sehingga PS’ $perp$ RT.
Gunakan hukum kosinus untuk mencari sudut antara PR dan RT, atau PT dan RT.Perhatikan segitiga siku-siku PQR. Sudut PQR = 90 derajat.
Pada bidang PQRT, kita memiliki titik P, Q, R, T. PQ=10, QR=6, PT= $sqrt10^2+4^2$ (ini salah, PT bukan diagonal bidang PQVS).Mari kita definisikan kembali titik-titik pada balok:
P = (0,0,0)
Q = (10,0,0)
R = (10,6,0)
S = (0,6,0) (Ini seharusnya S, bukan T pada bidang alas)
U = (0,0,4)
V = (10,0,4)
W = (10,6,4)
X = (0,6,4)Soal menyebutkan balok PQRSTUVS. Ini penamaan yang tidak standar dan mungkin membingungkan. Asumsi yang paling umum adalah P, Q, R, S adalah titik alas dan U, V, W, X adalah titik atas yang sesuai.
Jika kita mengasumsikan:
P=(0,0,0), Q=(10,0,0), R=(10,6,0), S=(0,6,0)
U=(0,0,4), V=(10,0,4), W=(10,6,4), X=(0,6,4)Maka soal meminta jarak titik P ke garis RT.
R = (10,6,0)
T (dalam penamaan standar seharusnya W) = (10,6,4)Jika soal benar-benar menggunakan penamaan PQRSTUVS, dan mengacu pada titik-titik yang ada, maka kita perlu klarifikasi. Namun, jika kita mengasumsikan P, Q, R, S adalah alas dan U, V, W, X adalah atas, maka R = (10,6,0) dan T (yang seharusnya W) = (10,6,4).
Mari kita asumsikan penamaan titik yang standar untuk balok:
P = (0,0,0)
Q = (10,0,0)
R = (10,6,0)
S = (0,6,0)U = (0,0,4)
V = (10,0,4)
W = (10,6,4)
X = (0,6,4)Jika soal merujuk pada balok PQR.STU.VW, maka P,Q,R,S adalah alas dan T,U,V,W adalah atas.
Kita kembali ke asumsi awal soal: PQRSTUVS.
Jika P,Q,R,S adalah titik alas, dan T,U,V,W adalah titik atas.
P=(0,0,0), Q=(10,0,0), R=(10,6,0), S=(0,6,0)
T=(0,0,4), U=(10,0,4), V=(10,6,4), W=(0,6,4)Dengan penamaan ini:
P = (0,0,0)
R = (10,6,0)
T = (0,0,4)Jarak titik P ke garis RT.
Vektor $vecRT = T – R = (0-10, 0-6, 4-0) = (-10, -6, 4)$.
Vektor $vecRP = P – R = (0-10, 0-6, 0-0) = (-10, -6, 0)$.$vecRP times vecRT = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -10 & -6 & 0 -10 & -6 & 4 endvmatrix$
$= mathbfi((-6)(4) – (0)(-6)) – mathbfj((-10)(4) – (0)(-10)) + mathbfk((-10)(-6) – (-6)(-10))$
$= mathbfi(-24 – 0) – mathbfj(-40 – 0) + mathbfk(60 – 60)$
$= -24mathbfi + 40mathbfj + 0mathbfk$
$= (-24, 40, 0)$$|vecRP times vecRT| = sqrt(-24)^2 + 40^2 + 0^2 = sqrt576 + 1600 = sqrt2176$.
$sqrt2176 = sqrt64 times 34 = 8sqrt34$.$|vecRT| = sqrt(-10)^2 + (-6)^2 + 4^2 = sqrt100 + 36 + 16 = sqrt152$.
$sqrt152 = sqrt4 times 38 = 2sqrt38$.$d = frac8sqrt342sqrt38 = frac4sqrt34sqrt38 = frac4sqrt34 times 3838 = frac4sqrt129238 = frac2sqrt129219 = frac2sqrt4 times 32319 = frac4sqrt32319$.
$323 = 17 times 19$.
$d = frac4sqrt17 times 1919 = frac4sqrt17sqrt1919 = frac4sqrt17sqrt19 = frac4sqrt17 times 1919 = frac4sqrt32319$.Perhitungan ini menjadi sangat rumit, yang mengindikasikan mungkin ada cara penyederhanaan atau penamaan yang perlu diklarifikasi.
Mari kita coba kembali dengan asumsi bahwa RT adalah diagonal bidang pada balok, bukan garis yang menghubungkan titik sudut yang tidak sejajar.
Jika R=(10,6,0) dan T adalah titik yang berdekatan (misalnya pada rusuk yang sama), maka soal ini tidak terdefinisi dengan baik.
Asumsi yang paling masuk akal untuk soal semacam ini adalah mencari jarak titik ke garis yang merupakan diagonal bidang atau diagonal ruang.
Jika kita mengasumsikan R=(10,6,0) dan T=(0,6,4) (titik diagonal pada bidang QRST), maka:
P = (0,0,0)
R = (10,6,0)
T = (0,6,4)
Vektor $vecRT = T – R = (0-10, 6-6, 4-0) = (-10, 0, 4)$.
Vektor $vecRP = P – R = (-10, -6, 0)$.$vecRP times vecRT = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -10 & -6 & 0 -10 & 0 & 4 endvmatrix$
$= mathbfi((-6)(4) – (0)(0)) – mathbfj((-10)(4) – (0)(-10)) + mathbfk((-10)(0) – (-6)(-10))$
$= mathbfi(-24) – mathbfj(-40) + mathbfk(-60)$
$= (-24, 40, -60)$.$|vecRP times vecRT| = sqrt(-24)^2 + 40^2 + (-60)^2 = sqrt576 + 1600 + 3600 = sqrt5776$.
$sqrt5776 = 76$.$|vecRT| = sqrt(-10)^2 + 0^2 + 4^2 = sqrt100 + 16 = sqrt116$.
$sqrt116 = sqrt4 times 29 = 2sqrt29$.$d = frac762sqrt29 = frac38sqrt29 = frac38sqrt2929$.
Kesimpulan untuk Soal 2: Penamaan titik dalam soal geometri ruang sangat krusial. Tanpa penamaan yang jelas dan konsisten, penyelesaian soal bisa menjadi ambigu. Jika soal ini berasal dari buku teks, sangat disarankan untuk merujuk pada diagram atau definisi penamaan yang diberikan.
Namun, jika kita fokus pada konsep dasar: Jarak titik ke garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut dan tegak lurus terhadap garis. Metode koordinat dengan cross product adalah cara yang ampuh untuk menghitungnya.
Soal 3: Menghitung Jarak Titik ke Bidang pada Kubus
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik E ke bidang BDG!
Pembahasan:
Bidang BDG adalah sebuah segitiga di dalam kubus. Titik E berada di sisi depan kubus. Jarak titik E ke bidang BDG adalah panjang garis tegak lurus dari E ke bidang BDG.
-
Visualisasikan bidang BDG: Bidang ini memotong kubus dan membentuk segitiga sama sisi BGD (karena BG, GD, dan DB adalah diagonal sisi yang panjangnya sama).
-
Titik E: Berada di sudut kubus.
-
Sumbu Koordinat: Akan sangat membantu.
Misalkan A = (0,0,0), B = (6,0,0), C = (6,6,0), D = (0,6,0)
E = (0,0,6), F = (6,0,6), G = (6,6,6), H = (0,6,6)Titik E = (0,0,6).
Titik B = (6,0,0).
Titik D = (0,6,0).
Titik G = (6,6,6). -
Persamaan Bidang BDG:
Kita perlu mencari persamaan bidang yang melalui B, D, dan G.
Vektor $vecDB = B – D = (6, -6, 0)$.
Vektor $vecDG = G – D = (6, 0, 6)$.Vektor normal bidang (n) = $vecDB times vecDG$:
$n = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk 6 & -6 & 0 6 & 0 & 6 endvmatrix$
$= mathbfi((-6)(6) – (0)(0)) – mathbfj((6)(6) – (0)(6)) + mathbfk((6)(0) – (-6)(6))$
$= mathbfi(-36) – mathbfj(36) + mathbfk(36)$
$= (-36, -36, 36)$.
Kita bisa sederhanakan vektor normal menjadi (1, 1, -1) dengan membagi -36.Persamaan bidang melalui titik D(0,6,0) dengan normal (1,1,-1) adalah:
$1(x – 0) + 1(y – 6) – 1(z – 0) = 0$
$x + y – 6 – z = 0$
$x + y – z – 6 = 0$. -
Jarak Titik E(0,0,6) ke Bidang $x + y – z – 6 = 0$:
Rumus jarak titik $(x_0, y_0, z_0)$ ke bidang $Ax + By + Cz + D = 0$ adalah:
$d = fracsqrtA^2 + B^2 + C^2$$d = frac1(0) + 1(0) – 1(6) – 6sqrt1^2 + 1^2 + (-1)^2$
$d = fracsqrt1 + 1 + 1$
$d = fracsqrt3$
$d = frac12sqrt3 = frac12sqrt33 = 4sqrt3$ cm.
Jadi, jarak titik E ke bidang BDG adalah $4sqrt3$ cm.
Soal 4: Menghitung Sudut Antara Dua Garis Bersilangan
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan besar sudut antara garis AG dan BH!
Pembahasan:
Garis AG adalah diagonal ruang, dan garis BH juga merupakan diagonal ruang. Kedua garis ini bersilangan. Untuk mencari sudut antara dua garis bersilangan, kita dapat menggeser salah satu garis sehingga berpotongan dengan garis lainnya, atau menggunakan vektor.
-
Metode Vektor:
Misalkan A = (0,0,0), G = (10,10,10). Vektor $vecAG = (10,10,10)$.
Misalkan B = (10,0,0), H = (0,10,10). Vektor $vecBH = (0-10, 10-0, 10-0) = (-10, 10, 10)$.Gunakan rumus sudut antara dua vektor:
$cos theta = fracvecAG cdot vecBHvecAG$$vecAG cdot vecBH = (10)(-10) + (10)(10) + (10)(10) = -100 + 100 + 100 = 100$.
$|vecAG| = sqrt10^2 + 10^2 + 10^2 = sqrt100 + 100 + 100 = sqrt300 = 10sqrt3$.
$|vecBH| = sqrt(-10)^2 + 10^2 + 10^2 = sqrt100 + 100 + 100 = sqrt300 = 10sqrt3$.$cos theta = frac100(10sqrt3)(10sqrt3) = frac100100 times 3 = frac13$.
$theta = arccosleft(frac13right)$.
Perhatian: Sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip (antara 0 dan 90 derajat). Jika hasil $cos theta$ negatif, maka sudut yang diambil adalah $180^circ – theta$. Dalam kasus ini, $cos theta$ positif.
Metode Geometri:
Kita bisa menggeser garis BH sejajar dengan dirinya sendiri sehingga titik B berimpit dengan titik A. Maka garis BH menjadi garis AH. Sudut antara AG dan BH sama dengan sudut antara AG dan AH.Perhatikan segitiga ABG. Ini adalah segitiga siku-siku di B.
AB = 10, BG = $10sqrt2$ (diagonal sisi), AG = $10sqrt3$ (diagonal ruang).Perhatikan segitiga ADH. Ini adalah segitiga siku-siku di D.
AD = 10, DH = 10, AH = $10sqrt2$ (diagonal sisi).Perhatikan segitiga ABH. AB = 10, AH = $10sqrt2$. Kita perlu mencari BH.
Dalam segitiga siku-siku BFG (tidak tepat), mari kita gunakan titik A sebagai referensi.
A=(0,0,0), B=(10,0,0), H=(0,10,10).
AB=10. AH = $sqrt0^2+10^2+10^2 = sqrt200 = 10sqrt2$.
BH = $sqrt(10-0)^2+(0-10)^2+(0-10)^2 = sqrt100+100+100 = sqrt300 = 10sqrt3$.Jadi, segitiga ABH memiliki sisi AB=10, AH=$10sqrt2$, BH=$10sqrt3$.
Menggunakan aturan kosinus pada segitiga ABH untuk mencari sudut $angle BAH$:
$BH^2 = AB^2 + AH^2 – 2(AB)(AH) cos(angle BAH)$
$(10sqrt3)^2 = 10^2 + (10sqrt2)^2 – 2(10)(10sqrt2) cos(angle BAH)$
$300 = 100 + 200 – 200sqrt2 cos(angle BAH)$
$300 = 300 – 200sqrt2 cos(angle BAH)$
$0 = -200sqrt2 cos(angle BAH)$
$cos(angle BAH) = 0$.
$angle BAH = 90^circ$.Ini berarti garis AB tegak lurus dengan garis AH. Ini benar karena AB adalah rusuk dan AH adalah diagonal sisi yang tidak sejajar dengan rusuk tersebut.
Kembali ke AG dan BH. Kita geser BH sehingga B berimpit dengan A. Maka BH menjadi garis yang sejajar dengan BH dan melalui A. Garis tersebut adalah garis yang menghubungkan A ke titik (0,10,10) jika B=(10,0,0). Ini adalah garis AH.
Jadi, sudut antara AG dan BH adalah sudut antara AG dan AH.Perhatikan segitiga ACG. Ini adalah segitiga siku-siku di C. AC = $10sqrt2$, CG = 10, AG = $10sqrt3$.
Perhatikan segitiga ADG. Ini adalah segitiga siku-siku di D. AD = 10, DG = $10sqrt2$, AG = $10sqrt3$.Kita perlu mencari sudut antara AG dan BH. Kita geser BH agar berpotongan.
Geser BH sehingga B berimpit dengan A. Maka BH menjadi garis AH.
Sudut antara AG dan BH = Sudut antara AG dan AH.
Perhatikan segitiga AGH.
AG = $10sqrt3$ (diagonal ruang)
AH = $10sqrt2$ (diagonal sisi)
GH = 10 (rusuk)Menggunakan aturan kosinus pada segitiga AGH untuk mencari sudut $angle GAH$:
$GH^2 = AG^2 + AH^2 – 2(AG)(AH) cos(angle GAH)$
$10^2 = (10sqrt3)^2 + (10sqrt2)^2 – 2(10sqrt3)(10sqrt2) cos(angle GAH)$
$100 = 300 + 200 – 200sqrt6 cos(angle GAH)$
$100 = 500 – 200sqrt6 cos(angle GAH)$
$200sqrt6 cos(angle GAH) = 400$
$cos(angle GAH) = frac400200sqrt6 = frac2sqrt6 = frac2sqrt66 = fracsqrt63$.Hasil ini berbeda dengan metode vektor. Mari kita periksa kembali metode vektor.
Vektor $vecAG = (10,10,10)$.
Vektor $vecBH = (-10, 10, 10)$.
$cos theta = frac100(10sqrt3)(10sqrt3) = frac100300 = frac13$.
$theta = arccosleft(frac13right)$.Mengapa ada perbedaan?
Metode vektor menghitung sudut antara dua vektor yang berawal dari titik yang sama atau yang sejajar. Ketika kita mengambil vektor $vecAG$ dan $vecBH$, kita menghitung sudut antara kedua vektor tersebut.Metode geometri dengan menggeser garis BH menjadi AH. Perhatikan bahwa garis BH dan AH tidak sejajar. Yang kita geser adalah arah garisnya, bukan posisinya secara bebas.
Mari kita gunakan vektor yang lebih tepat untuk metode geometri:
Pilih satu titik sebagai titik awal, misalnya A.
Vektor $vecAG = (10,10,10)$.
Untuk garis BH, kita perlu vektor yang sejajar BH dan berpotongan dengan AG.
Vektor $vecBH = (-10, 10, 10)$. Vektor ini memiliki panjang yang sama dengan $vecAG$.
Kita dapat menggeser BH sehingga titik B berimpit dengan A. Maka garis BH akan menjadi garis yang melalui A dan memiliki arah yang sama dengan BH. Vektornya adalah $vecBH’ = (-10, 10, 10)$.
Sudut antara $vecAG$ dan $vecBH’$:
$cos theta = frac(10,10,10) cdot (-10,10,10) (-10,10,10) = frac-100+100+100sqrt300sqrt300 = frac100300 = frac13$.Jadi, hasil metode vektor adalah yang benar. Sudut antara AG dan BH adalah $arccosleft(frac13right)$.
Soal 5: Menghitung Luas Proyeksi Bidang
Diketahui segitiga PQR dengan luas 12 cm². Segitiga ini diproyeksikan pada bidang datar $alpha$. Jika sudut yang dibentuk oleh bidang PQR dan bidang $alpha$ adalah $60^circ$, hitunglah luas proyeksi segitiga PQR pada bidang $alpha$!
Pembahasan:
Rumus luas proyeksi sebuah bidang pada bidang lain adalah:
Luas Proyeksi = Luas Bidang Asli $times cos theta$
di mana $theta$ adalah sudut antara kedua bidang tersebut.
Diketahui:
Luas Bidang Asli (Luas PQR) = 12 cm².
Sudut $theta = 60^circ$.
Luas Proyeksi = $12 times cos 60^circ$
Luas Proyeksi = $1
