Pernahkah kalian merasa penasaran dengan kalimat matematika yang menggunakan simbol seperti ">" (lebih dari), "<" (kurang dari), "≥" (lebih dari atau sama dengan), atau "≤" (kurang dari atau sama dengan)? Simbol-simbol ini bukanlah sekadar coretan biasa, melainkan kunci untuk memahami pertidaksamaan linear satu variabel. Materi ini merupakan salah satu fondasi penting dalam matematika yang akan banyak kalian temui di jenjang pendidikan selanjutnya. Di kelas 7 semester 1, kita akan mulai menjelajahi dunia pertidaksamaan ini, mempelajari cara membaca, memahami, dan menyelesaikannya.
Artikel ini akan menjadi panduan lengkap kalian untuk memahami pertidaksamaan linear satu variabel. Kita akan membahas konsep dasarnya, jenis-jenis pertidaksamaan, serta yang terpenting, kita akan menyajikan berbagai contoh soal yang relevan dengan materi kelas 7 semester 1, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah. Dengan pemahaman yang kuat dan latihan yang cukup, kalian pasti akan mahir dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan ini.
Apa Itu Pertidaksamaan Linear Satu Variabel?
Sebelum melangkah lebih jauh, mari kita definisikan terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan linear satu variabel.
- Pertidaksamaan: Ini adalah kalimat terbuka yang membandingkan dua ekspresi matematika menggunakan salah satu dari empat simbol ketidaksamaan: >, <, ≥, atau ≤. Berbeda dengan persamaan yang menyatakan kesetaraan (misalnya, x + 2 = 5), pertidaksamaan menyatakan hubungan "lebih dari", "kurang dari", "lebih dari atau sama dengan", atau "kurang dari atau sama dengan".
- Linear: Sifat "linear" berarti bahwa variabel yang ada dalam pertidaksamaan hanya berpangkat satu (pangkat 1). Tidak ada variabel yang dikuadratkan (pangkat 2), dipangkatkan tiga (pangkat 3), atau berada di dalam akar.
- Satu Variabel: Ini berarti hanya ada satu jenis variabel yang digunakan dalam pertidaksamaan tersebut. Variabel ini biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti x, y, a, b, dan sebagainya.
Jadi, pertidaksamaan linear satu variabel adalah sebuah kalimat terbuka yang hanya melibatkan satu jenis variabel dengan pangkat tertinggi satu, dan menggunakan salah satu simbol ketidaksamaan untuk membandingkan dua ekspresi.
Contoh sederhana pertidaksamaan linear satu variabel:
- x + 5 > 10
- 2y – 3 ≤ 7
- a ≥ 4
- 3b < 15
Memahami Simbol-Simbol Ketidaksamaan
Setiap simbol memiliki makna yang spesifik:
- > (Lebih dari): Menunjukkan bahwa nilai di sisi kiri lebih besar daripada nilai di sisi kanan.
- Contoh: 7 > 3 (7 lebih besar dari 3)
- < (Kurang dari): Menunjukkan bahwa nilai di sisi kiri lebih kecil daripada nilai di sisi kanan.
- Contoh: 2 < 5 (2 lebih kecil dari 5)
- ≥ (Lebih dari atau sama dengan): Menunjukkan bahwa nilai di sisi kiri lebih besar daripada nilai di sisi kanan, atau nilai di sisi kiri sama dengan nilai di sisi kanan.
- Contoh: 10 ≥ 10 (10 lebih besar dari atau sama dengan 10), 12 ≥ 10 (12 lebih besar dari atau sama dengan 10)
- ≤ (Kurang dari atau sama dengan): Menunjukkan bahwa nilai di sisi kiri lebih kecil daripada nilai di sisi kanan, atau nilai di sisi kiri sama dengan nilai di sisi kanan.
- Contoh: 5 ≤ 5 (5 kurang dari atau sama dengan 5), 3 ≤ 5 (3 kurang dari atau sama dengan 5)
Sifat-Sifat dalam Menyelesaikan Pertidaksamaan
Prinsip dasar dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel mirip dengan menyelesaikan persamaan linear satu variabel, yaitu kita berusaha mengisolasi variabel di salah satu sisi. Namun, ada satu aturan penting yang membedakan keduanya:
-
Menambah atau Mengurangi: Jika kedua sisi pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, maka tanda ketidaksamaan tetap sama.
- Jika a > b, maka a + c > b + c dan a – c > b – c.
-
Mengali atau Membagi dengan Bilangan Positif: Jika kedua sisi pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda ketidaksamaan tetap sama.
- Jika a > b dan c > 0, maka a c > b c dan a / c > b / c.
-
Mengali atau Membagi dengan Bilangan Negatif: Jika kedua sisi pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda ketidaksamaan berubah arah.
- Jika a > b dan c < 0, maka a c < b c dan a / c < b / c. (Perhatikan tanda berubah dari > menjadi <).
Perubahan arah tanda ini adalah poin krusial yang harus selalu diingat.
Himpunan Penyelesaian
Hasil dari penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel bukanlah sekadar satu nilai tunggal, melainkan sekumpulan nilai yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Kumpulan nilai ini disebut himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian bisa berupa bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, atau bahkan semua bilangan real, tergantung pada konteks soal.
Untuk kelas 7, biasanya kita akan fokus pada himpunan penyelesaian dalam bilangan bulat atau bilangan cacah.
Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam
Mari kita mulai dengan contoh-contoh soal yang umum ditemui di kelas 7 semester 1.
Contoh Soal 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x + 7 > 12$ jika $x$ adalah bilangan asli.
Pembahasan:
- Identifikasi Pertidaksamaan: Pertidaksamaan yang diberikan adalah $x + 7 > 12$.
- Tujuan: Kita ingin mengisolasi variabel $x$ di salah satu sisi.
- Langkah Penyelesaian: Untuk menghilangkan ‘+7’ di sisi kiri, kita kurangi kedua sisi pertidaksamaan dengan 7.
$x + 7 – 7 > 12 – 7$
$x > 5$ - Interpretasi Hasil: Hasilnya adalah $x > 5$. Ini berarti nilai $x$ harus lebih besar dari 5.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal meminta himpunan penyelesaian jika $x$ adalah bilangan asli. Bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….
Dari bilangan asli tersebut, nilai-nilai yang lebih besar dari 5 adalah 6, 7, 8, 9, …. - Jawaban: Himpunan penyelesaian dari $x + 7 > 12$ jika $x$ adalah bilangan asli adalah 6, 7, 8, 9, ….
Contoh Soal 2:
Selesaikan pertidaksamaan $3y – 5 leq 10$ dan tentukan himpunan penyelesaiannya jika $y$ adalah bilangan cacah.
Pembahasan:
- Identifikasi Pertidaksamaan: Pertidaksamaan yang diberikan adalah $3y – 5 leq 10$.
- Tujuan: Mengisolasi variabel $y$.
- Langkah Penyelesaian:
- Pertama, tambahkan 5 ke kedua sisi untuk menghilangkan ‘-5’ di sisi kiri:
$3y – 5 + 5 leq 10 + 5$
$3y leq 15$ - Selanjutnya, bagi kedua sisi dengan 3 (bilangan positif) untuk mendapatkan nilai $y$:
$frac3y3 leq frac153$
$y leq 5$
- Pertama, tambahkan 5 ke kedua sisi untuk menghilangkan ‘-5’ di sisi kiri:
- Interpretasi Hasil: Hasilnya adalah $y leq 5$. Ini berarti nilai $y$ harus kurang dari atau sama dengan 5.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal meminta himpunan penyelesaian jika $y$ adalah bilangan cacah. Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….
Dari bilangan cacah tersebut, nilai-nilai yang kurang dari atau sama dengan 5 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. - Jawaban: Himpunan penyelesaian dari $3y – 5 leq 10$ jika $y$ adalah bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Contoh Soal 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $2a + 8 geq 20$ jika $a$ adalah bilangan bulat.
Pembahasan:
- Identifikasi Pertidaksamaan: $2a + 8 geq 20$.
- Tujuan: Mengisolasi variabel $a$.
- Langkah Penyelesaian:
- Kurangi kedua sisi dengan 8:
$2a + 8 – 8 geq 20 – 8$
$2a geq 12$ - Bagi kedua sisi dengan 2 (bilangan positif):
$frac2a2 geq frac122$
$a geq 6$
- Kurangi kedua sisi dengan 8:
- Interpretasi Hasil: $a geq 6$. Nilai $a$ harus lebih besar dari atau sama dengan 6.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal meminta himpunan penyelesaian jika $a$ adalah bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi …, -2, -1, 0, 1, 2, …, 6, 7, 8, ….
Dari bilangan bulat, nilai-nilai yang lebih besar dari atau sama dengan 6 adalah 6, 7, 8, 9, …. - Jawaban: Himpunan penyelesaian dari $2a + 8 geq 20$ jika $a$ adalah bilangan bulat adalah 6, 7, 8, 9, ….
Contoh Soal 4 (Melibatkan Perkalian/Pembagian dengan Bilangan Negatif):
Selesaikan pertidaksamaan $-4b < 24$ dan tentukan himpunan penyelesaiannya jika $b$ adalah bilangan bulat.
Pembahasan:
- Identifikasi Pertidaksamaan: $-4b < 24$.
- Tujuan: Mengisolasi variabel $b$.
- Langkah Penyelesaian:
- Kita perlu membagi kedua sisi dengan -4. Ingat! Ketika membagi atau mengali dengan bilangan negatif, tanda ketidaksamaan harus dibalik.
$frac-4b-4 > frac24-4$ (Tanda ‘<‘ berubah menjadi ‘>’)
$b > -6$
- Kita perlu membagi kedua sisi dengan -4. Ingat! Ketika membagi atau mengali dengan bilangan negatif, tanda ketidaksamaan harus dibalik.
- Interpretasi Hasil: $b > -6$. Nilai $b$ harus lebih besar dari -6.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal meminta himpunan penyelesaian jika $b$ adalah bilangan bulat.
Dari bilangan bulat, nilai-nilai yang lebih besar dari -6 adalah -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …. - Jawaban: Himpunan penyelesaian dari $-4b < 24$ jika $b$ adalah bilangan bulat adalah -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ….
Contoh Soal 5 (Pertidaksamaan dengan Variabel di Kedua Sisi):
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $5k – 3 leq 2k + 9$ jika $k$ adalah bilangan asli.
Pembahasan:
- Identifikasi Pertidaksamaan: $5k – 3 leq 2k + 9$.
- Tujuan: Mengumpulkan semua suku yang mengandung variabel di satu sisi dan suku konstan di sisi lain.
- Langkah Penyelesaian:
- Kurangi kedua sisi dengan $2k$ untuk memindahkan suku bervariabel ke kiri:
$5k – 2k – 3 leq 2k – 2k + 9$
$3k – 3 leq 9$ - Tambahkan 3 ke kedua sisi untuk memindahkan suku konstan ke kanan:
$3k – 3 + 3 leq 9 + 3$
$3k leq 12$ - Bagi kedua sisi dengan 3 (bilangan positif):
$frac3k3 leq frac123$
$k leq 4$
- Kurangi kedua sisi dengan $2k$ untuk memindahkan suku bervariabel ke kiri:
- Interpretasi Hasil: $k leq 4$. Nilai $k$ harus kurang dari atau sama dengan 4.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal meminta himpunan penyelesaian jika $k$ adalah bilangan asli. Bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, ….
Dari bilangan asli, nilai-nilai yang kurang dari atau sama dengan 4 adalah 1, 2, 3, 4. - Jawaban: Himpunan penyelesaian dari $5k – 3 leq 2k + 9$ jika $k$ adalah bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4.
Contoh Soal 6 (Aplikasi dalam Soal Cerita):
Seorang pedagang memiliki persediaan apel sebanyak $n$ buah. Hari ini, ia menjual 15 apel dan masih memiliki sisa apel kurang dari 30 buah. Buatlah pertidaksamaan dari masalah tersebut dan tentukan kemungkinan jumlah apel yang dimiliki pedagang itu pada awalnya jika $n$ adalah bilangan asli.
Pembahasan:
- Identifikasi Variabel dan Informasi:
- Variabel: $n$ (jumlah apel awal, bilangan asli).
- Apel yang dijual: 15 buah.
- Sisa apel: kurang dari 30 buah.
- Membuat Pertidaksamaan:
- Jumlah sisa apel adalah jumlah awal dikurangi yang dijual: $n – 15$.
- Sisa apel kurang dari 30 buah: $n – 15 < 30$.
- Menyelesaikan Pertidaksamaan:
- Tambahkan 15 ke kedua sisi:
$n – 15 + 15 < 30 + 15$
$n < 45$
- Tambahkan 15 ke kedua sisi:
- Interpretasi Hasil: $n < 45$. Jumlah apel awal harus kurang dari 45.
- Menentukan Himpunan Penyelesaian: Soal menyatakan $n$ adalah bilangan asli. Bilangan asli adalah 1, 2, 3, …, 44, 45, ….
Nilai $n$ yang memenuhi $n < 45$ dan merupakan bilangan asli adalah 1, 2, 3, …, 44. - Jawaban: Pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah $n – 15 < 30$. Kemungkinan jumlah apel yang dimiliki pedagang itu pada awalnya adalah bilangan asli dari 1 hingga 44.
Tips Jitu Menguasai Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
- Pahami Makna Simbol: Kuasai arti dari >, <, ≥, dan ≤.
- Hati-hati dengan Bilangan Negatif: Ingat aturan penting saat mengali atau membagi dengan bilangan negatif, yaitu membalik arah tanda ketidaksamaan.
- Periksa Kembali Langkah Anda: Setelah menyelesaikan pertidaksamaan, luangkan waktu sejenak untuk meninjau kembali setiap langkah perhitungan Anda.
- Teliti dalam Menentukan Himpunan Penyelesaian: Perhatikan dengan seksama jenis bilangan yang diminta dalam soal (bilangan asli, cacah, bulat, dll.) saat menentukan himpunan penyelesaian.
- Latihan, Latihan, Latihan: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda dengan berbagai jenis soal dan semakin lancar Anda dalam menyelesaikannya.
Kesimpulan
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah topik yang menarik dan fundamental dalam matematika. Dengan memahami konsep dasarnya, sifat-sifat penyelesaiannya, dan berlatih melalui berbagai contoh soal, kalian akan mampu menguasai materi ini dengan baik. Ingatlah selalu untuk berhati-hati, terutama saat berhadapan dengan operasi perkalian dan pembagian menggunakan bilangan negatif. Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya, dan kalian pasti akan menjadi ahli dalam memecahkan misteri pertidaksamaan linear satu variabel!
