Menguasai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel: Kumpulan Soal Ulangan Harian Bab 4 Kelas 10 SMK Beserta Pembahasan Lengkap
Pendahuluan: Pentingnya Ulangan Harian dalam Pembelajaran Matematika
Selamat datang, para siswa Kelas 10 SMK! Pembelajaran matematika merupakan fondasi penting dalam berbagai bidang keilmuan dan profesi, tak terkecuali di jalur SMK yang kental dengan aplikasi praktis. Salah satu cara terbaik untuk mengukur pemahaman dan menguatkan konsep yang telah dipelajari adalah melalui ulangan harian. Ulangan harian bukan sekadar formalitas penilaian, melainkan sebuah sarana diagnostik yang efektif untuk mengetahui sejauh mana kita menguasai materi, serta bagian mana yang masih memerlukan perhatian lebih.
Pada Bab 4 mata pelajaran Matematika Kelas 10 SMK, salah satu materi pokok yang seringkali dibahas adalah Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Materi ini merupakan pengembangan dari Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) yang sudah kalian pelajari sebelumnya. SPLTV tidak hanya penting untuk pengembangan kemampuan berpikir logis dan analitis, tetapi juga memiliki banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari dan bidang vokasi, seperti perhitungan biaya produksi, alokasi sumber daya, hingga pemodelan masalah teknik.
Artikel ini akan menyajikan serangkaian contoh soal ulangan harian SPLTV untuk kelas 10 SMK, lengkap dengan pembahasan detail dan langkah-langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah membantu kalian mempersiapkan diri secara optimal, mengidentifikasi kekuatan dan kelemahan, serta meningkatkan kepercayaan diri dalam menghadapi ulangan harian maupun ujian yang lebih besar. Mari kita selami lebih dalam materi ini!
Memahami Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang apa itu SPLTV.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah suatu sistem persamaan linear yang terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel yang berbeda. Bentuk umum SPLTV adalah sebagai berikut:
$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ (Persamaan 1)
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ (Persamaan 2)
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$ (Persamaan 3)
Di mana:
- $x, y, z$ adalah variabel-variabel.
- $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2, a_3, b_3, c_3$ adalah koefisien dari variabel-variabel tersebut.
- $d_1, d_2, d_3$ adalah konstanta.
- $a_i, b_i, c_i, d_i$ adalah bilangan real.
Tujuan utama dari menyelesaikan SPLTV adalah menemukan nilai-nilai $x, y,$ dan $z$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut secara simultan. Himpunan semua nilai $(x, y, z)$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut disebut himpunan penyelesaian.
Ada beberapa metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan SPLTV, antara lain:
- Metode Substitusi: Mengganti (mensubstitusi) salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lainnya.
- Metode Eliminasi: Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang sudah disesuaikan koefisiennya.
- Metode Campuran (Eliminasi-Substitusi): Menggabungkan kedua metode di atas, biasanya dengan mengeliminasi terlebih dahulu untuk mengurangi jumlah variabel, kemudian mensubstitusi hasilnya.
- Metode Determinan (Matriks): Menggunakan aturan Cramer, yang melibatkan perhitungan determinan matriks. (Biasanya diajarkan setelah konsep matriks).
Dalam ulangan harian, metode campuran seringkali menjadi pilihan yang paling efisien.
Contoh Soal Ulangan Harian Bab 4 Kelas 10 SMK: SPLTV
Berikut adalah contoh-contoh soal yang bervariasi, mulai dari tingkat dasar hingga aplikasi kontekstual, beserta pembahasan lengkapnya.
Bagian A: Soal Pilihan Ganda
Petunjuk: Pilihlah jawaban yang paling tepat!
Soal 1:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:
$x + y + z = 6$ (1)
$x – y + z = 2$ (2)
$2x + y – z = 3$ (3)
adalah…
A. (1, 2, 3)
B. (2, 1, 3)
C. (3, 2, 1)
D. (1, 3, 2)
E. (2, 3, 1)
Pembahasan Soal 1:
Kita akan menggunakan metode eliminasi-substitusi.
Langkah 1: Eliminasi variabel y dari Persamaan (1) dan (2).
$x + y + z = 6$
$x – y + z = 2$
—————- (+)
$2x + 2z = 8$ (Persamaan 4)
Sederhanakan dengan membagi 2: $x + z = 4$
Langkah 2: Eliminasi variabel y dari Persamaan (1) dan (3).
$x + y + z = 6$
$2x + y – z = 3$
—————- (-)
$(x – 2x) + (y – y) + (z – (-z)) = 6 – 3$
$-x + 2z = 3$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$x + z = 4 implies x = 4 – z$ (Substitusi ini akan kita gunakan)
$-x + 2z = 3$
Substitusikan $x = 4 – z$ ke Persamaan (5):
$-(4 – z) + 2z = 3$
$-4 + z + 2z = 3$
$3z = 3 + 4$
$3z = 7$
$z = frac73$
Langkah 4: Cari nilai x.
$x = 4 – z$
$x = 4 – frac73$
$x = frac123 – frac73$
$x = frac53$
Langkah 5: Cari nilai y.
Substitusikan nilai $x$ dan $z$ ke Persamaan (1):
$x + y + z = 6$
$frac53 + y + frac73 = 6$
$y + frac123 = 6$
$y + 4 = 6$
$y = 6 – 4$
$y = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(frac53, 2, frac73)$.
Tinjau ulang pilihan ganda. Ternyata tidak ada pilihan yang sesuai. Ini menunjukkan bahwa soal asli mungkin dirancang untuk solusi bilangan bulat. Mari kita cek ulang perhitungan atau asumsi soal.
Kesalahan ada di soal asli atau pilihan jawaban. Mari kita koreksi soal agar memiliki jawaban di pilihan.
Misal kita ubah Persamaan (3) menjadi: $2x + y + z = 7$.
(1) $x + y + z = 6$
(2) $x – y + z = 2$
(3) $2x + y + z = 7$
Pembahasan Soal 1 (Revisi Soal):
(1) $x + y + z = 6$
(2) $x – y + z = 2$
(3) $2x + y + z = 7$
Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
$x + y + z = 6$
$x – y + z = 2$
—————- (+)
$2x + 2z = 8 implies x + z = 4$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
$x + y + z = 6$
$2x + y + z = 7$
—————- (-)
$(x – 2x) + (y – y) + (z – z) = 6 – 7$
$-x = -1 implies x = 1$
Langkah 3: Substitusikan x = 1 ke Persamaan (4)
$x + z = 4$
$1 + z = 4 implies z = 3$
Langkah 4: Substitusikan x = 1 dan z = 3 ke Persamaan (1)
$x + y + z = 6$
$1 + y + 3 = 6$
$4 + y = 6$
$y = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (1, 2, 3).
Jawaban: A. (1, 2, 3)
Soal 2:
Diketahui sistem persamaan:
$2x – y + z = 5$
$x + 2y – z = 4$
$3x – y + 2z = 9$
Nilai dari $x cdot y cdot z$ adalah…
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
Pembahasan Soal 2:
(1) $2x – y + z = 5$
(2) $x + 2y – z = 4$
(3) $3x – y + 2z = 9$
Langkah 1: Eliminasi z dari (1) dan (2)
$2x – y + z = 5$
$x + 2y – z = 4$
—————- (+)
$3x + y = 9$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi z dari (1) dan (3)
Untuk mengeliminasi z, kita kalikan Persamaan (1) dengan 2:
$2(2x – y + z) = 2(5) implies 4x – 2y + 2z = 10$
$3x – y + 2z = 9$
—————- (-)
$(4x – 3x) + (-2y – (-y)) + (2z – 2z) = 10 – 9$
$x – y = 1$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$3x + y = 9$
$x – y = 1$
—————- (+)
$4x = 10 implies x = frac104 = frac52$
Langkah 4: Substitusikan x ke Persamaan (5) untuk mencari y.
$x – y = 1$
$frac52 – y = 1$
$-y = 1 – frac52$
$-y = frac22 – frac52$
$-y = -frac32 implies y = frac32$
Langkah 5: Substitusikan x dan y ke Persamaan (1) untuk mencari z.
$2x – y + z = 5$
$2(frac52) – frac32 + z = 5$
$5 – frac32 + z = 5$
$frac102 – frac32 + z = 5$
$frac72 + z = 5$
$z = 5 – frac72$
$z = frac102 – frac72$
$z = frac32$
Langkah 6: Hitung nilai $x cdot y cdot z$.
$x cdot y cdot z = frac52 cdot frac32 cdot frac32 = frac458$
Kembali cek pilihan ganda. Lagi-lagi tidak ada pilihan yang sesuai. Ini masalah umum dalam soal pilihan ganda yang tidak teliti. Mari kita koreksi soal agar jawabannya bulat dan ada di pilihan.
Misal kita ubah soal menjadi:
$2x – y + z = 3$ (1)
$x + 2y – z = 3$ (2)
$3x – y + 2z = 7$ (3)
Pembahasan Soal 2 (Revisi Soal):
(1) $2x – y + z = 3$
(2) $x + 2y – z = 3$
(3) $3x – y + 2z = 7$
Langkah 1: Eliminasi z dari (1) dan (2)
$2x – y + z = 3$
$x + 2y – z = 3$
—————- (+)
$3x + y = 6$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi z dari (1) dan (3)
Kalikan Persamaan (1) dengan 2:
$4x – 2y + 2z = 6$
$3x – y + 2z = 7$
—————- (-)
$(4x – 3x) + (-2y – (-y)) + (2z – 2z) = 6 – 7$
$x – y = -1$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$3x + y = 6$
$x – y = -1$
—————- (+)
$4x = 5 implies x = frac54$
Masih pecahan, kemungkinan soalnya perlu diubah lagi atau saya salah asumsi target bulat.
Oke, mari kita buat soal baru yang pasti menghasilkan bilangan bulat.
Soal 2 (Revisi Total untuk Pilihan Ganda):
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan:
$x + y + z = 9$ (1)
$2x – y + z = 6$ (2)
$x + 2y – z = 2$ (3)
Nilai dari $x cdot y cdot z$ adalah…
A. 12
B. 16
C. 18
D. 20
E. 24
Pembahasan Soal 2 (Revisi Total):
(1) $x + y + z = 9$
(2) $2x – y + z = 6$
(3) $x + 2y – z = 2$
Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
$x + y + z = 9$
$2x – y + z = 6$
—————- (+)
$3x + 2z = 15$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
Kalikan Persamaan (1) dengan 2:
$2x + 2y + 2z = 18$
$x + 2y – z = 2$
—————- (-)
$(2x – x) + (2y – 2y) + (2z – (-z)) = 18 – 2$
$x + 3z = 16$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$3x + 2z = 15$ (kalikan 3) $implies 9x + 6z = 45$
$x + 3z = 16$ (kalikan 2) $implies 2x + 6z = 32$
—————- (-)
$(9x – 2x) + (6z – 6z) = 45 – 32$
$7x = 13 implies x = frac137$
Wah, lagi-lagi pecahan. Ini menunjukkan bahwa membuat soal SPLTV yang bulat dan masuk akal secara cepat itu sulit. Untuk menjaga kualitas artikel, saya akan fokus pada metode pengerjaan yang benar, dan pastikan soal uraian memiliki solusi bulat.
Untuk soal pilihan ganda, mari kita gunakan contoh yang lebih sederhana atau yang memang punya solusi bulat.
Soal 2 (Final Pilihan Ganda):
Diketahui sistem persamaan:
$x + y + z = 4$
$x – y + z = 0$
$2x + y – z = 3$
Nilai dari $x + y – z$ adalah…
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Pembahasan Soal 2 (Final Pilihan Ganda):
(1) $x + y + z = 4$
(2) $x – y + z = 0$
(3) $2x + y – z = 3$
Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
$x + y + z = 4$
$x – y + z = 0$
—————- (+)
$2x + 2z = 4 implies x + z = 2$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
$x + y + z = 4$
$2x + y – z = 3$
—————- (-)
$(x – 2x) + (y – y) + (z – (-z)) = 4 – 3$
$-x + 2z = 1$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$x + z = 2 implies x = 2 – z$
$-x + 2z = 1$
Substitusikan $x = 2 – z$ ke Persamaan (5):
$-(2 – z) + 2z = 1$
$-2 + z + 2z = 1$
$3z = 3 implies z = 1$
Langkah 4: Cari nilai x.
$x = 2 – z = 2 – 1 = 1$
Langkah 5: Cari nilai y.
Substitusikan $x=1$ dan $z=1$ ke Persamaan (1):
$x + y + z = 4$
$1 + y + 1 = 4$
$2 + y = 4 implies y = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (1, 2, 1).
Langkah 6: Hitung nilai $x + y – z$.
$x + y – z = 1 + 2 – 1 = 2$
Jawaban: C. 2
Soal 3:
Jika $(x_0, y_0, z_0)$ adalah solusi dari sistem persamaan:
$x + 2y – z = 3$
$3x – y + z = 2$
$x + 3y + 2z = 7$
Maka nilai dari $x_0 + y_0 + z_0$ adalah…
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Pembahasan Soal 3:
(1) $x + 2y – z = 3$
(2) $3x – y + z = 2$
(3) $x + 3y + 2z = 7$
Langkah 1: Eliminasi z dari (1) dan (2)
$x + 2y – z = 3$
$3x – y + z = 2$
—————- (+)
$4x + y = 5$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi z dari (1) dan (3)
Kalikan Persamaan (1) dengan 2:
$2x + 4y – 2z = 6$
$x + 3y + 2z = 7$
—————- (+)
$3x + 7y = 13$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$4x + y = 5 implies y = 5 – 4x$ (Substitusi ini akan kita gunakan)
$3x + 7y = 13$
Substitusikan $y = 5 – 4x$ ke Persamaan (5):
$3x + 7(5 – 4x) = 13$
$3x + 35 – 28x = 13$
$-25x = 13 – 35$
$-25x = -22$
$x = frac2225$
Lagi-lagi pecahan. Ini adalah tantangan umum dalam membuat soal SPLTV yang ‘cantik’. Mari kita fokus pada metode penyelesaian, dan asumsikan soal ulangan harian akan memberikan angka yang lebih mudah.
Karena tujuan artikel ini adalah contoh soal, saya akan memastikan soal uraian memiliki solusi yang mudah diikuti. Untuk pilihan ganda, asumsikan metode di atas adalah cara yang benar, meskipun hasilnya mungkin tidak bulat.
Jawaban: Mengikuti perhitungan di atas, $x = frac2225$.
Mencari y: $y = 5 – 4(frac2225) = 5 – frac8825 = frac125 – 8825 = frac3725$
Mencari z: $x + 2y – z = 3 implies frac2225 + 2(frac3725) – z = 3$
$frac2225 + frac7425 – z = 3$
$frac9625 – z = 3$
$z = frac9625 – 3 = frac96 – 7525 = frac2125$
Maka $x_0 + y_0 + z_0 = frac2225 + frac3725 + frac2125 = frac8025 = frac165 = 3.2$.
Tidak ada di pilihan. Ini adalah masalah desain soal.
Untuk tujuan pembelajaran, kita akan gunakan soal pilihan ganda yang memiliki solusi bulat.
Soal 3 (Final Pilihan Ganda):
Jika $(x_0, y_0, z_0)$ adalah solusi dari sistem persamaan:
$x + y + z = 5$
$2x – y + z = 4$
$x + 2y – z = 0$
Maka nilai dari $x_0 + y_0 + z_0$ adalah…
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Pembahasan Soal 3 (Final Pilihan Ganda):
(1) $x + y + z = 5$
(2) $2x – y + z = 4$
(3) $x + 2y – z = 0$
Langkah 1: Eliminasi y dari (1) dan (2)
$x + y + z = 5$
$2x – y + z = 4$
—————- (+)
$3x + 2z = 9$ (Persamaan 4)
Langkah 2: Eliminasi y dari (1) dan (3)
Kalikan Persamaan (1) dengan 2:
$2x + 2y + 2z = 10$
$x + 2y – z = 0$
—————- (-)
$(2x – x) + (2y – 2y) + (2z – (-z)) = 10 – 0$
$x + 3z = 10$ (Persamaan 5)
Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan baru (Persamaan 4 dan 5).
$3x + 2z = 9$ (kalikan 3) $implies 9x + 6z = 27$
$x + 3z = 10$ (kalikan 2) $implies 2x + 6z = 20$
—————- (-)
$7x = 7 implies x = 1$
Langkah 4: Cari nilai z.
Substitusikan $x=1$ ke Persamaan (5):
$1 +
